Plano cartesiano

El plano cartesiano se construye con dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cruzan en sus respectivos ceros.

add

Plano cartesiano

Introducción

El plano cartesiano es un sistema de referencia geométrico. Recibe su nombre en honor a su inventor René Descartes (1596 – 1650). Se construye con dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cruzan perpendicularmente en sus respectivos ceros; este cruce se llama origen, y a cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.

A la recta horizontal suele llamársele eje $x$ y a la vertical eje $y$ y como ambos ejes son rectas numéricas, en las que están representdos todos los números reales con todas sus propiedades de orden, en el eje $x$ los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda y en el eje $y$ los números positivos se ubican en la parte de arriba y los negativos en la parte de abajo.

El plano cartesiano, sirve como referencia de un plano cualquiera, por ejemplo de los planos de una ciudad.

Coordenadas cartesianas

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes y marcadas como I, II, III y IV como en la figura:

Da clic en la imagen para visualizar.

El plano cartesiano es usado para ubicar puntos en él. Para hacerlo, se usa un sistema de coordenadas cartesianas en el que a cada punto $P$ del plano, se le asocia un par ordenado de números reales: sus coordenadas. Así, al punto $P$ se le asocia el par $(x,y)$ donde $x$ y $y$ son ambos números reales, la primera componente del par, la $x$, se llama la abscisa y la segunda, la $y$, es la ordenada.

Estas coordenadas también acostumbran llamarse coordenadas rectangulares, pues para obtenerlas se trazan dos rectas que pasen por el punto $P$ y sean paralelas a cada uno de los ejes. El punto de cruce de la recta paralela al eje $y$ con el eje $x$, determinará la abscisa de $P$ y el cruce de la recta paralela al eje $x$ con el eje $y$ determinará el valor de su ordenada. Observa este proceso en la siguiente figura, como verás los ejes cartesianos y estas rectas, forman un rectángulo:

Da clic en la imagen para visualizar.

Así, con base en lo anterior, se tiene que en el plano cartesiano existe una correspondencia entre sus puntos y todos los pares ordenados de números reales; esto es, que a cada par ordenado le corresponde uno y sólo un punto en el plano y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas $(x,y)$.

Ahora ubicaremos en el plano, los siguientes puntos indicando en qué cuadrante se encuentran:

  • $$A (3,4)$$
  • $$B (–5,3)$$
  • $$C (–2,–4)$$
  • $$D (4,–5)$$

Recuerda que las coordenadas de un punto nos indican los valores de su abscisa y su ordenada.

  • trending_flat$A(3,4)$

    En este caso para $x$ tenemos el valor de 3, el cual se encuentra tres lugares a la derecha del origen (cuyas coordenadas son $(0,0)$).

    Da clic en la imagen para visualizar.

    Una vez que está ubicada la abscisa hay que ver cuál es el valor de la ordenada para ubicar el punto. En este caso $y$ es igual a 4, como es positivo indica que se ubica en el semieje $y$ positivo.

    De esta forma tenemos ubicado el punto $A(3,4)$ que se encuentra en el primer cuadrante ya que ambas coordenadas son positivas.

    Da clic en la imagen para visualizar.

  • trending_flat$B(–5,3)$

    Ahora para $x$ tenemos el valor de -5, el cual se encuentra cinco lugares a la izquierda del origen.

    Da clic en la imagen para visualizar.

    Una vez que está ubicada la abscisa hay que ver cuál es el valor de la ordenada para ubicar el punto, en este caso $y$ es igual a 3, como es positivo indica que hay que recorrer 3 posiciones hacia arriba.

    De esta forma tenemos graficado el punto $B(–5,3)$ el cual se encuentra en el segundo cuadrante ya que la abscisa $x$ es positiva y la ordenada $y$ es negativa.

    Da clic en la imagen para visualizar.

  • trending_flat$C(–2,–4)$

    En el punto $C$ tenemos para $x$ el valor de -2, el cual se encuentra dos lugares a la izquierda del orige.

    Da clic en la imagen para visualizar.

    Una vez que está ubicada la abscisa hay que cuál es el valor de la ordenada para ubicar el punto, en este caso $y$ es igual a -4, como es negativo indica que hay que recorrer hacia abajo.

    De esta forma tenemos graficado nuestro punto $C(–2,–4)$ el cual se encuentra en el tercer cuadrante ya que la abscisa $x$ es negativa y la ordenada $y$ es negativa.

    Da clic en la imagen para visualizar.

  • trending_flat $D(4,–5)$

    En el punto $D$ tenemos para $x$ el valor de 4, el cual se encuentra cuatro lugares a la derecha del origen.

    Da clic en la imagen para visualizar.

    Una vez que está ubicada la abscisa hay que ver cuál es el valor de la ordenada para ubicar el punto, en este caso $y$ es igual a -5, como es negativo indica que tenemos que recorrernos hacia abajo.

    Da clic en la imagen para visualizar.

    De esta forma tenemos graficado el punto $D(4,-5)$ el cual se encuentra en el cuarto cuadrante ya que la abscisa $x$ es positiva y la ordenada $y$ es negativa.

Autoevaluación

Ubica en las siguientes gráficas los puntos dados e indica en que cuadrante se encuentran.

Da clic en la imagen para visualizar.

Da clic en la imagen para visualizar.

Da clic en la imagen para visualizar.

Da clic en la imagen para visualizar.

Da clic en la imagen para visualizar.