Permutación

Las permutaciones son estudiadas por el Conteo o Análisis combinatorio. Y ayudan a cuantificar la probabilidad de que ocurra un resultado.

Una permutación es una forma en la que pueden presentarse objetos o eventos y en la que el orden de aparición es muy importante.

Por ejemplo:

Los dígitos $2,5,8$.

Pueden formar los numeros: $258,285,528,582,825$ y $852$, cada uno de ellos es una permutación de los dígitos dados.

Las letras A, V, E: forman: AVE, EVA,VEA que son palabras diferentes.

La fórmula general de las permutaciones es la siguiente:

Permutaciones de $n$ objetos tomados de $r$ en $r$:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Donde:

$n$ es el número total de objetos o eventos; puede ser cualquier entero positivo

$r$ es el número de objetos que se desea considerar $1\leq r \leq n$

RECUERDA: el factorial de $n$ es $$n!= (1)(2)...(n-1)(n)$$

Solo se aplica para valores enteros no negativos.

Por ejemplo, el factorial de siete se escribe $7!$ y vale $7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$

$$1! = 1$$

$$0! = 1$$

Ejemplo de permutación:

Hugo compró en el mercado de discos usados $15$ discos, pero en la torre para compactos que tiene ya solo caben seis. ¿De cuántas formas los puede acomodar?

Él tiene un total de $15$ discos, este será el valor de $n$, y desea ordenar seis de ellos, de modo que $r = 6$. Así:

$$P(15,6)=\frac{15!}{(15-6)!}=\frac{15!}{9!}=\frac{(9!)(10)(11)(12)(13)(14)(15)}{9!}=$$ $$=(10)(11)(12)(13)(14)(15)=3\:603\:600$$

Es decir se pueden ordenar de $3\:603\:600$ maneras.

Autoevaluación

Ahora es momento de practicar. Responde con el valor numérico sin usar comas.

1. Gaby le pidió a Hugo que le prestará algunas canciones de un disco que él tiene y que a ella le gusta. Para ello le dio una cinta en la que tiene algunas cosas y un poco de espacio sin grabar. Hugo se dio cuenta que solo podrá grabar 5 de las 12 canciones del disco. ¿De cuántas formas las puede grabar?

Son con $n=$ y $r=$

2. A Gaby le gusta coleccionar figuritas decorativas de gatos, y tiene una serie de 7 gatitos de madera pintados a mano. ¿De cuántas formas los puede colocar sobre una pequeña repisa de su cuarto?

Son con $n=$ y $r=$

3. Hugo le pidió a Gaby que retirara algo de dinero de su tarjeta porque debía de hacer algunos pagos y no tendría tiempo de ir al banco. Le dio el número de acceso, pero Gaby olvidó los dos últimos dígitos; lo único que recuerda son los dos primeros y que los cuatro eran todos diferentes. ¿Cuántas alternativas tiene de asignar esos dos últimos dígitos?

Son con $n=$ y $r=$

4. ¿Cuántas sucesiones de letras pueden hacerse con los caracteres de la palabra murciélago?

Son con $n=$ y $r=$

5. Gaby le propuso a Hugo y a otras dos parejas que fueran al concierto. Debido a la gran demanda de boletos, solo venden dos por persona, de manera que para poder ir los seis, tres de ellos deberán formarse. ¿De cuántas formas pueden quedar formadas estas tres parejas?

Son con $n=$ y $r=$

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