Medidas de tendencia central

Mientras la media te da idea del valor numérico central de un conjunto de datos o distribución y la mediana indica un punto de corte tal que si tenemos los datos ordenados, la mitad quedan por debajo de ella y la otra mitad están por encima, la moda sólo nos indica el dato de mayor frecuencia.

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Medidas de tendencia central

En este tema estudiaremos el comportamiento central o representativo de un conjunto de datos.

Vamos a pensar un poco en alguno de tus cursos, imagina que en un curso obtuviste una calificación de 10, pero en el otro en donde no estudiaste lo suficiente tu nota fue de 5. ¿Cómo podrías, sin mentir, suavizar estos datos ante tus amigos?

Después de pensar un momento, tal vez pensaste en decir, si alguno de ellos te pregunta, obtuve 7.5.

¡Claro! Lo que hiciste fue sumar 10 + 5 y luego dividirlo entre dos.

En otras palabras, para obtener el promedio o media sumamos la primera calificación (a1 = 10) con la segunda calificación (a2 = 5), y dividimos el resultado entre dos, ya que hay dos números en este caso. Lo que acabas de leer también puede expresarse así:

Ahora, si fueran tres las calificaciones, tendrías que obtener su suma y dividirla entre tres. Por ejemplo, si hubieras obtenido 10, 6 y 5, ¿cuál sería la media o promedio?

Después de calcular obtenemos que el promedio es 7.

Si tuvieras ahora cuatro calificaciones, ¿qué harías?

Si analizas este caso un poco, puedes darte cuenta que al ir agregando valores, el denominador también va aumentando, es decir, debes dividir entre el número de datos de los cuales deseas calcular el promedio. ¿Cómo podemos expresar con una fórmula la manera en que obtenemos la media o promedio de cuatro datos?

Esperamos hayas imaginado lo siguiente:

Generemos una expresión que nos permita calcular la media de cualquier número de datos. La media se representa en Matemáticas de la manera siguiente x, la manera de calcularla es sumando todos los datos y dividir entre el total de datos (n). La suma de todos los datos se expresa a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an por lo que la expresión para calcular la media nos quedaría así:

Las a con subíndice representan los datos a promediar: a1 representa al primer dato, a2 al segundo, a3 al tercero y así sucesivamente (eso significan los puntos suspensivos) hasta el último o enésimo dato, representado por an. El número total de datos está representado por n. De este modo, si estamos promediando las calificaciones de un grupo de 35 estudiantes, en el numerador habrá 35 datos diferentes y en el denominador aparecerá el número 35 y nuestra fórmula quedaría:

Una manera más sintética de expresar la suma a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an consiste en usar la notación de sumatoria mediante el símbolo ∑. ¿Su nombre suena a suma, verdad? Se trata de la letra griega sigma que en Matemáticas representa la suma de números de una serie que empieza en el número que aparece abajo de la letra y va hasta el número que se escribe arriba de ella. Así, significa que se deben sumar todos los elementos de la serie desde a1 hasta an, o sea, a1 + a2 + a3 + a4.

Aplicando esta notación a nuestra fórmula, podemos escribirla de la siguiente manera:

Mediana

La media o promedio nos da información, pero tiene sus limitaciones. Al presentar sólo este indicador podemos conducir a falsedades. Una de las formas en que podemos describir con mayor detalle lo que nos aporta una distribución es usando la mediana.

La mediana es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor y se representa mediante Me.

Para calcularla debemos ordenar los datos de menor a mayor. Ahora debemos observar si el número de datos es par o impar.

Si el número de datos es impar la mediana es el valor que se encuentra justo a la mitad.

Si el número de datos es par, la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

La mediana describe mejor que la media una distribución cuando ésta se encuentra sesgada hacia uno u otro lado. Sin embargo, es conveniente obtener ambos indicadores ya que juntos nos proporcionan más información acerca de la distribución los datos.

Moda

La moda es el valor con mayor frecuencia en un conjunto de datos, a las distribuciones con un solo valor de moda se le llama unimodal y se identifica con Mo. Algunos conjuntos de datos pueden tener dos valores los cuales se repitan el mismo número de veces, y que son en frecuencia los más altos, cuando esto sucede se dice que tenemos una distribución bimodal. La moda es un indicador que aporta poca información. Mientras la media te da idea del valor numérico central de un conjunto de datos o distribución y la mediana indica un punto de corte tal que si tenemos los datos ordenados, la mitad quedan por debajo de ella y la otra mitad están por encima, la moda sólo nos indica el dato de mayor frecuencia. De cualquier forma, en muchas ocasiones se usa para complementar la información. Es conveniente tener la media, mediana y moda de un conjunto de datos para que puedas elaborar una mejor descripción de ellos. A estas tres medidas se les llama medidas de tendencia central.

Unimodal
La moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5    Mo = 4

Bimodal o Multimodal (varias modas)
La moda de la distribución:
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9   Mo = 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9   Mo = no hay moda

Autoevaluación

Para verificar tus aprendizajes realizaremos el siguiente ejercicio:

Los niños, a diferencia de los adultos, tienden a recordar las películas, cuentos e historias como una sucesión de acciones más que el argumento en forma global y de conjunto. En el relato de una película, por ejemplo, utilizan con frecuencia las palabras "y entonces...". Una psicóloga con suprema paciencia pidió a 50 niños que le contaran una determinada película que ellos habían visto. Consideró la variable: cantidad de "y entonces..." utilizados en el relato y registró los siguientes datos:

8 15 22 19 15 17 18 20 17 12 16 16 17 21 23 18 20 21 20 20 15 18 17 19 20 23 22 10 17 19 19 21 20 18 18 24 11 19 31 16 17 18 19 20 18 18 40 18 19 16

Calcula la media, moda y mediana.

Con base en estos datos, realiza un pequeño párrafo sobre la descripción de los datos usando las medidas de tendencia central

  1. Media =

    Muy bien, has utilizado de manera correcta el método para obtener la media

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central

  2. Mediana =

    Muy bien, has aplicado de manera correcta el procedimiento de ordenar los datos.

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central

  3. Moda =

    Muy bien, has aplicado de manera correcta el criterio para obtener la moda.

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central