Medidas de tendencia central

La media te da idea del valor central de un conjunto de datos numéricos. La mediana indica un punto de corte tal que si los datos están ordenados, la mitad queda por debajo de ella y la otra mitad está por encima. La moda indica el dato que aparece con mayor frecuencia.

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Medidas de tendencia central

Media o promedio

Vamos a pensar un poco tus calificaciones. Imagina que en un curso obtuviste una calificación de $10,$ pero en otro en donde no estudiaste lo suficiente tu nota fue de $5.$ ¿Cómo podrías, sin mentir, suavizar estos datos ante tus amigos?

Después de pensar un momento, tal vez pensaste en decir, si alguno de ellos te pregunta, obtuve $7.5.$

¡Claro! Lo que hiciste fue sumar $10 + 5$ y luego dividir el resultdo entre dos.

En otras palabras, para obtener el promedio o media sumamos la primera calificación, $a_1 = 10$, con la segunda calificación $a_2 = 5$, y dividimos el resultado entre dos, porque hay dos datos numéricos de este ejemplo. Esto también puede expresarse así: $$\frac{a_1+a_2}{2}$$

Ahora, si fueran tres las calificaciones, tendrías que obtener su suma y dividirla entre tres. Por ejemplo, si hubieras obtenido $10, 6$ y $5,$ ¿cuál sería la media? $$\frac{10+6+5}{3}$$

Después de calcular obtenemos que el promedio es $7.$ Si tuvieras ahora cuatro calificaciones, ¿qué harías?

Observa que al ir agregando valores, el denominador también va aumentando. Esto es porque hay que dividir entre la cantidad de datos de los que se desea obtener el promedio. ¿Cómo expresamos con una fórmula la media de cuatro datos?

Suponemos que imaginaste lo siguiente: $$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}$$

Generemos una expresión para la media de cualquier cantidad de datos. La media se denota como $\overline{x}$, la manera de calcularla es sumando todos los datos y dividiendo esta suma entre el total de datos disponibles.

Si la colección consta de $n$ datos numéricos, su suma se expresa $a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ \ldots + a_n$ por lo que la expresión general será:$$\overline{x}=\frac{a_1+ a_2+ a_3+ \ldots + a_n}{n}$$

En esta expresión estamos suponiendo que los datos a promediar están ordenados en una lista: $a_1$ representa al primer dato, $a_2$ al segundo, $a_3$ al tercero, y así sucesivamente (eso significan los puntos suspensivos) hasta el último que es el enésimo dato, representado por $a_n.$

Entonces a cada dato -o valor numérico- le hemos puesto un nombre: la letra $a$ seguida por un subíndice (el número pequeño que está a la derecha de la $a$) que muestra el lugar en el que se encuentra el dato dentro de la lista. Así, diremos genéricamente que $a_i$ es el $i$-ésimo dato de la lista. El número total de datos es $n.$

Una manera más sintética de expresar la suma de $n$ datos numéricos consiste en usar la notación sigma. Se trata de la letra griega $\Sigma$ que en matemáticas se usa para representar la suma de una colección grande de números. Con esta notación, denotamos como $$\sum_{i=1}^n a_i$$ a la suma de $n$ datos, $a_i,$ de modo que $i$ "se mueve" de $1$ a $n.$

Esto significa que se deben sumar todos los valores en la lista, representa la suma que habíamos escrito como $$a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ \ldots + a_n$$

Usando la notación sigma, la expresión para la media será, $$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}$$

Mediana

Si lo que queremos es visualizar el comportamiento representativo de un conjunto de datos numéricos -también llamado distribución- la media o promedio nos brinda información valiosa, pero tiene limitaciones. Otro indicador que proporciona mayor información es la mediana.

La mediana es el valor que ocupa el lugar central de la distribución cuando los datos están acomodados en orden creciente. Se denota como $Me.$

Entonces, el primer paso para obtener la mediana es ordenar los datos de menor a mayor. Es importante observar si la cantidad de datos es par o impar. Si es impar la mediana es el valor que se encuentra justo a la mitad, $$2,3,4,4,5,5,5,6,6$$ $$\Rightarrow Me=5$$

Si el número de datos es par, la mediana es la media entre los dos valores centrales, $$7,7,8,9,10,11,11,12$$ los valores centrales son $9$ y $10$ por lo que la mediana será la media de ellos: $$\frac{9+10}{2}=9.5 \Rightarrow Me=9.5$$

La mediana describe mejor que la media una distribución que se encuentra sesgada hacia uno u otro lado. Sin embargo, es conveniente obtener ambos indicadores ya que juntos nos proporcionan más información sobre los datos.


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Moda

La moda de una distribución es el valor con "mayor frecuencia" en el conjunto. Es decir el que más veces aparece en la distribución. Se denota como $Mo.$

Una distribución podría tener una sola moda, varias o ninguna. Si tiene un solo valor de moda se le llama unimodal. Si tiene dos, es decir, dos valores que se repiten el mismo número de veces, tenemos entonces una distribución bimodal. Genéricamente, se dice que la distribución es multimodal si hay más de una moda. Y si no hay un valor que aparezca más veces que los demás (por ejemplo en colecciones de datos en los que todos sus elementos son distintos) decimos que se trata de una distribución amodal.

La moda aporta poca información. Mientras la media te da idea del valor central de una distribución, y la mediana indica un punto de corte tal que si los datos están acomodados de forma creciente, la mitad queda por debajo de ella y la otra mitad por encima, la moda sólo indica el dato de mayor frecuencia.

De cualquier forma, en muchas ocasiones se usa para complementar la información. Es conveniente tener la media, mediana y moda de un conjunto de datos para que puedas obtener una mejor descripción de ellos.

A estos tres indicadores se les llama medidas de tendencia central.

Ejemplos:

Unimodal
La moda de la distribución: $$2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$$ es $$Mo= 4$$

Multimodal
La moda de la distribución:$$1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9$$ es $$Mo= 1, 5, 9$$

Amodal
Si la distribución es: $$2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9$$ entonces, no hay moda.

Autoevaluación

Para verificar tus aprendizajes realizaremos el siguiente ejercicio:

Los niños, a diferencia de los adultos, tienden a recordar las películas, cuentos e historias como una sucesión de acciones más que el argumento en forma global y de conjunto. En el relato de una película, por ejemplo, utilizan con frecuencia las palabras "y entonces...". Una psicóloga con suprema paciencia pidió a 50 niños que le contaran una determinada película que ellos habían visto. Consideró la variable: cantidad de "y entonces..." utilizados en el relato y registró los siguientes datos:

$$8\:15\:22\:19\:15\:17\:18\:20\:17\:12\:16\:16\:17\:21\:23\:18\:20\:21\:20\:20\:15\:18\:17\:19\:20$$ $$23\:22\:10\:17\:19\:19\:21\:20\:18\:18\:24\:11\:19\:31\:16\:17\:18\:19\:20\:18\:18\:40\:18\:19\:16$$

Calcula la media, moda y mediana.

  1. Media =

    Muy bien, has utilizado de manera correcta el método para obtener la media

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central

  2. Mediana =

    Muy bien, has aplicado de manera correcta el procedimiento de ordenar los datos.

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central

  3. Moda =

    Muy bien, has aplicado de manera correcta el criterio para obtener la moda.

    Revisa nuevamente como debes calcular las medidas de tendencia central

Con base en estos indicadores, realiza un pequeño párrafo sobre la descripción de los datos usando las medidas de tendencia central.