Función senoidal, desfasamiento.

Dos ondas senoidales están en fase si las crestas y valles de una están alineados con las crestas y valles de la otra, es decir, cada máximo (mínimo) de una tiene la misma abscisa del máximo (mínimo) correspondiente en la otra. Si esto no ocurre decimos que están desfasadas.

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Función senoidal, desfasamiento.

La función seno

La función seno, $f(x)=sen\:x$ es una función definida para todos los números reales y sus imágenes son también números reales. Su gráfica es una curva llamada senoide o sinusoide que se repite en cada intervalo de longitud $2\pi.$ Matemáticamente, esto significa que $$sen\:(x+n2\pi)=sen\:x$$ con $n$ un número entero, decimos entonces que esta es una función periódica de periodo $2\pi.$

Es decir,

$$sen\:x = sen\:(x+ 2\pi)=$$ $$sen\:(x- 2\pi)= sen\:(x+ 4\pi)=$$ $$sen\:(x-6\pi)=sen\:(x+8\pi)=...$$

Notemos que como la función repite los valores que toma en cada periodo, significa que su rango o imagen no es todo el conjunto de reales sino solamente un subconjunto. Como puedes observar en la gráfica la imagen de $f$ es el intervalo $[-1,1]$ pues todos los valores que la función toma, están ahí. Este conjunto se distingue claramente en el eje $y.$

La función seno es muy usada en Física pues con ella se modelan un sinnúmero de fenómenos, los fenómenos físicos periódicos.. Estos fenómenos se modelan matemáticamente usando funciones senoidales -transformaciones de la función seno- porque cambian periódicamente con el tiempo, por ejemplo los movimientos ondulatorios o las señales electromagnéticas.

Entonces dependiendo del fenómeno a modelar se construye la función que lo describe. Tenemos así, una familia infinita de funciones senoidales -sinusoidales- cada una de ellas definida mediante una colección de cuatro valores reales $a, b, c$ y $d,$ sus parámetros.

La familia de funciones senoidales queda descrita mediante la siguiente expresión general: $$f_{abcd}(x)= a\:sen\:(bx+c) + d$$ Donde, los valores de los cuatro parámetros están dados por las condiciones específicas del fenómeno a modelar. Observa que para la función $f(x)=sen\:x$ se tiene que $a=b=1$ y $c=d=0.$

Desfasamiento

En Física, una onda es la propagación en el espacio, de una perturbación. Tal propagación provoca una vibración o movimiento oscilatorio. Muchos de estos movimientos son fenómenos periódicos y por tanto pueden ser modelados mediante funciones senoidales que describen el desplazamiento en función del tiempo. Es común llamar onda senoidal (u onda sinusoidal) a la gráfica de la función que representa uno de estos fenómenos.

Dos ondas senoidales están en fase si las crestas y valles de una están alineados con las crestas y valles de la otra, es decir, cada máximo (mínimo) de una tiene la misma abscisa del máximo (mínimo) correspondiente en la otra. Observa que, en esta definición es necesario que las dos ondas tengan la misma frecuencia. Si dos ondas de la misma frecuencia no están en fase, decimos que están desfasadas.

Traslación de funciones

Dada una función real $y=g(x),$ decimos que la función $y=g(x+\delta)$ es una traslación horizontal de $g$ porque su gráfica se obtiene al desplazar:

a la izquierda $\delta$ unidades la gráfica de $g$ si $\delta>0$

o

a la derecha $|\delta|$ unidades la gráfica de $g$ si $\delta \leq 0$

Si ocurre que dos ondas senoidales de la misma frecuencia están desfasadas, entonces una es una traslación horizontal de la otra. Usando la terminología de la Física, diremos que la onda $g(x+\delta)$ experimenta un corrimiento de fase o un desplazamiento de fase de $-\delta$ respecto de $g(x).$

Dadas dos ondas senoidales desfasadas, el desfasamiento se mide considerando el mismo instante para ambas curvas y aunque, estrictamente es una distancia, es decir un número real, es muy frecuente dar una medida angular.

Veamos un ejemplo:

La siguiente figura muestra dos ondas senoidales, una de ellas $f(x)=sen\:x$ y la otra $g(x)=sen\:(x- \frac{\pi}{4}).$ Observa que la gráfica de ésta última, en color azul, tiene un desplazamiento de $\frac{\pi}{4}\approx 0.7853$ unidades a la derecha respecto de la gráfica de $f.$

Traslaciones verticales

Dada una función real $y=g(x),$ decimos que la función $y=g(x)+\delta$ es una traslación vertical de $g$ porque su gráfica se obtiene al desplazar:

hacia arriba $\delta$ unidades la gráfica de $g$ si $\delta>0$

o

hacia abajo $|\delta|$ unidades la gráfica de $g$ si $\delta \leq 0$

Así, dada una función senoidal $f(x)= a\:sen\:(bx+c) + d$ el parámetro $c$ describe el corrimiento de fase, de $c$ unidades de la función $g(x)= a\:sen\:(bx)$ y el parámetro $d$ describe una traslación vertical de $d$ unidades de la misma función $g$.

Autoevaluación

Realicemos algunos ejercicios:

1. Si se sabe que la función $f(x)=sen(3x+4.5)$ ¿cuál es el desfasamiento que presentará la gráfica y hacia dónde? hacia la .

2. Si el valor del desfasamiento es $3.5$ y el valor de $b=2$ determina la función considerando $a=1.$

3. Si se sabe que la función $f(x)=sen(4x-2.5)$ ¿cuál es el desfasamiento que presentará la gráfica y hacia dónde? hacia la .

4. Si el valor del desfasamiento es $\frac{\pi}{4}$ y el valor de $b=3$ determina la función considerando $a=1.$

5. Si se sabe que la función $f(x)=sen(5x-2.5)$ ¿cuál es el desfasamiento que presentará la gráfica y hacia dónde? hacia la .

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