Frecuencia de oscilación

En Física, para un fenómeno físico periódico, se define el periodo de oscilación como el lapso que transcurre entre dos instantes equivalentes consecutivos, es decir, considerando el instante en que el fenómeno está en cierto estado se mide el tiempo que toma para volver al mismo estado y tal cantidad de tiempo es el periodo de oscilación del fenómeno.

Esta idea coincide con el concepto de periodo de una función periódica, como vimos, la función $f(x)=sen\: x$ es periódica de periodo $2\pi$ y si consideras $x_0 \in \mathbb{R}$ y el punto $(x_0, sen\: x_0)$ en su gráfica, como una partícula moviéndose a lo largo de la curva, ¿cuándo será la siguiente vez que la función alcance el valor $sen\: x_0$? o sea ¿cuánto tiempo debe pasar para que la partícula alcance la misma distancia al eje $x$? Observa la gráfica:

¡Claro! como sabes la función volverá a tomar el valor $sen\:x_0$ en $x_0+2\pi$ por lo que la partícula "alcanza la misma distancia al eje $x$" cuando ha pasado un lapso de $2\pi$ unidades de tiempo.

Velocidad angular

Ahora bien, observa que la partícula, en su movimiento a lo largo de un periodo, pasa por todos los posibles valores de la función, es decir completa un ciclo. Al número de ciclos completados en el intervalo $[0,2\pi]$ se le llama velocidad angular, y se denota por la letra griega $\omega$. O sea que la velocidad angular es el número de veces que se repite un patrón completo de una curva senoidal en el intervalo $[0,2\pi]$, en la expresión general de la familia de funciones senoidales, corresponde al parámetro $b$. También se le conoce como pulsación (o simplemente pulso).

De acuerdo con la definición de periodo, se tiene que $$T=\frac{2\pi}{\omega}$$ Definimos la frecuencia de oscilación, $fr$, de una función senoidal como el recíproco del periodo, es decir $$fr=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{T}$$ Sucede entonces que si la frecuencia es mayor, el periodo disminuye y viceversa.

Veamos un ejemplo

En la siguiente gráfica:

Observa cuántos ciclos completos hay en el intervalo $[0,2\pi].$

Hay tres ciclos completos en el intervalo, por lo que la función que corresponde a esta gráfica será: $$f(x)=sen \:3x$$

¿Cuál sería el periodo de esta función? De acuerdo a lo expuesto, tenemos que $$\omega=\frac{2\pi}{3}$$ Por lo que el periodo de la función es $T\approx 2.094$ y como la frecuencia es el recíproco del periodo entonces $fr=\frac{1}{2.094}= 0.478$

Si ahora consideramos una función de la que conocemos el periodo o la frecuencia, es posible que obtengamos su velocidad angular.

Veamos:

Calcular la velocidad angular de una función senoidal si se sabe que su frecuencia es $1.1140$

Como la frecuencia es el inverso del periodo, $T$, entonces, $$T=\frac{1}{1.1140}= 0.8975$$

Sabemos que $T=\frac{2\pi}{\omega}$ por lo que despejando $\omega$ se tiene que, $$\omega=\frac{2\pi}{T}$$ así para este ejemplo, $$\omega=\frac{2\pi}{0.8975}=7$$

Entonces, se trata de la función senoidal: $$f(x)=sen\:7x$$

Realicemos algunos ejercicios: