Seguramente en más de una plática cotidiana has comentado algo acerca de la probabilidad de que ocurra algo. Decimos por ejemplo: “La probabilidad de que me saque la lotería es casi cero” o “He consultado y la probabilidad de que llueva en la tarde es del 85%”. Así, la probabilidad mide, es decir indica cuantitativamente, qué tan posible es que algo ocurra (llover, sacarse la lotería, etc).

En matemáticas, la Teoría de la Probabilidad es el área que estudia los fenómenos aleatorios, es decir, aquellos sucesos o experimentos que al repetirse bajo las mismas condiciones pueden tener resultados distintos. A los resultados de un fenómeno o experimento aleatorio se les llama eventos.

Un ejemplo sencillo de fenómeno aleatorio es el lanzamiento de una moneda. Cuando la lanzas, no sabes si caerá águila o sol y ambos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Lo que conocemos como la probabilidad clásica o teórica de un evento $E$ se define como $$P(E)= \frac{\text{no. de maneras en que ocurre } E}{\text{no. total de resultados}}$$

Así, para el fenómeno de lanzar una moneda, su espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles es: $$S=\{águila, sol\}$$ que tiene dos elementos, por lo que el número total de resultados es dos. Entonces, tenemos que $$P(\text{águila})=\frac{1}{2}=P(\text{sol})$$ que en términos de porcentaje es $50\%$. Como ves los dos eventos del espacio tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Observa cómo es la suma de las probabilidades de los dos eventos posibles: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$$ o bien, expresado en porcentajes, $50\% + 50\% = 100\%$.

Si ahora analizamos el fenómeno consistente en lanzar un dado común -de esos cuyas caras están numeradas del 1 al 6- ¿cuál es la probabilidad de que salga 4?

Veamos primero, como en el caso de la moneda, cuál es el espacio muestral del experimento, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles. En cada lanzamiento puede salir uno de seis resultados y tales resultados son los números entre 1 y 6. Entonces $$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$ Cada uno de estos números aparece una sola vez en las caras del dado, entonces $$P(4)=\frac{1}{6}$$

Pero, ocurre lo mismo con cada uno de los demás resultados posibles pues el dado es un cubo y sus caras son simétricas, por lo que cada número tiene la misma probabilidad de salir, $$P(4)=P(1)=P(2)=P(3)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6}$$

Nuevamente tenemos, como en el caso del lanzamiento de la moneda, que todos los eventos del fenómeno tienen la misma probabilidad de ocurrir por lo que decimos que son eventos equiprobables.

En el caso de una baraja, por ejemplo, la probabilidad de obtener un AS es la siguiente:

Número de casos favorables: 4 pues en una baraja hay 4 ases.

Número de casos totales: 52 pues la baraja tiene 52 cartas.

Por tanto, $P(AS)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}=0.077$ que es aproximadamente $7.7\%$.

Ahora piensa que lanzamos simultáneamente 2 monedas y supongamos que la variable $x$ cuenta el número de soles que obtenemos en cada lanzamiento. Observemos cómo es el espacio muestral obtenido: $$S= \{(\text{águila, águila}),(\text{águila, sol}),(\text{sol, águila}),(\text{sol, sol})\}$$ calculemos las probabilidades de todos los resultados:

Caso	Primera moneda	Segunda moneda	$x$	$P(x)$
$1$	águila	águila	$0$	$P(0)=\frac{1}{4}=0.25$ esto es $25\%$
$2$	águila	sol	$1$	$P(1)=\frac{2}{4}=0.50$ esto es $50\%$
$3$	sol	águila	$1$
$4$	sol	sol	$2$	$P(2)=\frac{1}{4}=0.25$ esto es $25\%$

Recuerda que la probabilidad es el número de veces que se presenta un evento entre el total de eventos. Tenemos entonces que el total de casos es cuatro. Hay un caso en el que no cae ningún sol, por tanto $P(x=0)=\frac{1}{4}$; hay dos casos en que puede caer un sol, es decir, $P(x=1)=\frac{2}{4}$; y hay un caso en que podríamos obtener dos soles, es decir, $P(x=2)=\frac{1}{4}$.

Probabilidad experimental

La probabilidad también se puede calcular mediante la repetición experimental del fenómeno que estemos estudiando. Registramos los resultados obtenidos y obtenemos la proporción de casos favorables al evento entre el total de casos registrados.

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda al aire 10 veces, registrando los resultados de cada lanzamiento. Supongamos que obtuvimos 4 águilas y 6 soles, y ahora queremos indicar nuestros resultados de manera cuantitativa. Entonces, de acuerdo con nuestros resultados, $$P(águila)=\frac{4}{10}=0.4$$ que en términos de porcentaje es $40\%$. Y la probabilidad experimental de obtener sol fue $$P(sol)=\frac{6}{10}= 0.6$$ como antes, esto es equivalente al $60\%$. Como puedes ver, la suma de las probabilidades de los dos eventos posibles da como total $$\frac{4}{10}+\frac{6}{10} = 1$$ o bien, expresado en porcentajes, $40\% + 60\% = 100\%$.

A esta forma de calcular se le llama probabilidad experimental o de frecuencia relativa         Frecuencia es el número de veces que se presenta un valor en un conjunto de datos. Frecuencia relativa es la proporción con la que aparece un valor respecto al número total de datos.

Veamos algunos ejemplos más para que fortalezcas lo aprendido.

Considera un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente dos dados y obtener la suma de los números que caigan en sus caras superiores. Definamos la variable $x$ cuyo valor es precisamente la suma de los valores obtenidos en cada lanzamiento. Observa que como los valores posibles de los dados son los números de $1$ a $6$ entonces los valores posibles de las sumas son: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ por lo que $x \in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.

Calcular:

a) La probabilidad del suceso "la suma de los dados es 2".

b) La probabilidad del suceso "la suma es un número par".

Primero hay que calcular cuántos elementos hay en el espacio muestral. Observa la tabla, para verificar los resultados:

Así, el espacio muestral contiene $36$ elementos, aunque hay que observar que como los dados son indistinguibles entre sí, hay resultados que son iguales. Por ejemplo el $(1,2)$ y el $(2,1)$. Para obtener las probabilidades solicitadas hay que determinar la suma de cada uno de estos lanzamientos para obtener los casos favorables a los eventos planteados. En la siguiente tabla hemos colocado solamente la suma de cada lanzamiento:

a) Para calcular la probabilidad del evento $x=2$ tenemos que preguntarnos, ¿de cuántas maneras podemos obtener 2? $$P(x=2)=\frac{\text{número de eventos favorables}}{\text{número de casos totales}}$$ $$\quad=\frac{\text{número de formas en que se puede obtener 2}}{\text{número de casos totales}}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\approx 0.05$$

Por lo que la probabilidad del evento "la suma de los dados es 2" es $\frac{1}{18}$ o en porcentajes $5\%$.

b) Ahora para calcular la probabilidad del suceso "la suma es un número par" hay que responder ¿de cuántas maneras podemos obtener que la suma sea un número par?

$$P(x \text{ es par})=\frac{\text{número de formas en que se puede obtener número par}}{\text{número de casos totales}}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$$

Así, la probabilidad del evento "la suma es un número par" es $\frac{1}{2}$ o en porcentajes $50\%$.

Autoevaluación

Para verificar tus aprendizajes, te invitamos a realizar el siguiente ejercicio.

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.

Elige de entre las respuestas, la que sea correcta de acuerdo a la columna de la izquierda.